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Abbiamo mostrato come i principi della geometria non sono fatti sperimentali, in particolare il postulato di Euclide (il quinto, detto anche postulato delle parallele) non può essere dimostrato dall’esperienza. In seguito cercheremo di mostrare perchè l’esperienza è insufficiente, affrontando alcune false convinzioni radicate in molte persone su questa questione. Se ad esempio disegno un cerchio materiale (es. un cerchio sulla lavagna) e misurandone raggio e circonferenza cerco di vedere se il loro rapporto è uguale a TT (p greco), questa non sarà un’esperienza sulle proprietà dello spazio, bensì su quelle della materia con cui si è costruito tale anello circolare (poichè il cerchio è un termine che ha connotazione geometrica). Cioè tale anello ha proprietà fisiche, ma non ha niente a che vedere con il concetto astratto di cerchio; per questo la via induttiva non può giungere a concetti astratti. Tuttavia lasciamo stare per ora questi problemi di incompatibilità tra la natura intuitiva e la necessità di astrazione riguardanti la geometria.
Il V postulato non può quindi essere dimostrato dall'esperienza; un po' allo stesso modo, possiamo dire che se la geom di Riemann è vera, la parallasse di una stella molto lontana sarà negativa; se è vera quella di Lobacevskij, sarà finita. Ci si è affidati alle osservazioni astronomiche (dunque all’esperienza) per decidere tra le due geometrie. Ma già pensare di decidere non ha alcun senso, così come non ha alcun senso domandarsi se la geometria euclidea è vera (cfr85). Infatti nessuna esperienza sarà mai in contraddizione con il postulato di Euclide, ma nemmeno lo sarà con il postulato di Lobacevskij. Sarebbe come dire che, dato che le lunghezze possono essere espresse in metri e centimetri, l’esistenza di tese e pollici contraddica direttamente l’esperienza.
Inoltre, rimane il problema di come decidere tra le geometrie? Con che criterio?
Ammettiamo che esista una proprietà A che nello spazio euclideo è posseduta solo dalla linea retta, e che quindi ci dice che un raggio è rettilineo e dunque appartenente allo spazio euclideo; in realtà non esiste un proprietà A di questo genere, che serva da criterio assoluto per identificare la linea retta e distinguerla da tutte le altre linee (infatti sia nello spazio euclideo che non euclideo una tale proprietà appartiene alla retta e solo ad essa, come oggetto concreto). Non è possibile immaginare un’esperienza concreta che possa essere interpretata nel sistema euclideo senza esserlo in quello di Lobacevskij. Quindi la geometria euclidea (o non euclidea) non può essere direttamente contraddetta dall’esperienza, ma c’è da analizzare un altra questione, quella della RELATIVITA’ all’interno di un sistema materiale qualunque che ci accingiamo a esaminare. Infatti le leggi dei fenomeni che si produrranno in tale sistema potranno dipendere dallo stato dei corpi e dalle reciproche distanze; ma a causa della relatività e della passività dello spazio, esse non dipenderanno dalla posizione e dall’orientamento assoluto del sistema. (= non dipenderanno dal “tipo” di spazio)
Cioè:
[Legge di RELATIVITA’ – 1°formulazione, riferita a esperienze in un sistema euclideo, quindi non troppo generalizzata]
Lo stato dei corpi e le loro reciproche distanze in un istante qualsiasi dipenderanno unicamente dallo stato di questi corpi e dalle reciproche distanza (=dalle relazioni) nell’istante iniziale, ma non dipenderanno affatto dalla posizione/orientamento assoluti iniziali del sistema.
Ma volendo interpretare le ns esperienze in un sistema non euclideo (cosa sempre possibile, anche se e distanze tra i corpi saranno differenti), vediamo se e come esse si accordino con la legge di relatività. Vediamo subito innanzitutto che per applicare la legge di R rigorosamente bisogna applicarla all’Universo intero, non solo una parte; ma se il nostro sistema è l’Universo intero, l’esperienza è impotente nell’informarci circa la sua posizione/orientamento assoluti nello spazio.
Allora, quello che i nostri strumenti potranno farci conoscere sarà lo stato delle doverse parti dell’Universo e le loro reciproche distanze (=le relazioni). Ecco che possiamo quindi riformulare la Legge di Relatività nel modo seguente (125):
[2° formulazione, enunciato del tutto indipendente da ogni interpretazione delle esperienze: se la legge è vera nell’interpretaz euclidea, lo sarà anche in quella non euclidea]
Le letture che sui nostri strumenti potremo fare in un istante qualsiasi dipenderanno unicamente dalle letture che su questi stessi strumenti abbiamo fatto nell’instante iniziale.
Anzi, una formulazione anche più completa è la seguente:
[3°Form (127)]
Lo stato dei corpi e le loro reciproche distanze in un istante qualsiasi (come le velocità con cui tali dist variano in quell’istante) dipendono unicamente dallo stato di quei corpi e delle loro reciproche distanze nell’istante iniziale; ma non dipenderanno nè dalla posiz nè dall’orientam assoluti del sistema.
Una legge così enunciata non è in accordo con le esperienze, almeno come di solito le si intepretano (in modo euclideo).
Ma si deve tener ben presente la conclusione dei nostri ragionamenti: le esperienze non ci fanno conoscere che le RELAZIONI tra i corpi; nessuna di queste relazioni verte o può vertere sulle relazioni dei corpi con lo spazio sulle relazioni reciproche delle diverse parti dello spazio. Per questo l’esperienza non può decidere tra Euclide e Lobacevskij. Per questo l’empirismo geometrico non ha un senso razionale.
Dal momento che le ns esperienze possono riguardare solo le relazioni tra i corpi, esse, per quanto numerose siano, non ci riveleranno alcunchè sulle relazioni reciproche tra le diverse parti dello spazio (nemmeno le cosiddette “proprietà geometriche” dei corpi, che sono ancora le relazioni con lo spazio e quindi per noi inaccessibili).
Invece, quando dico che una parte di un corpo è in contatto con un’altra di un altro corpo, questa è una proposizione che riguarda solo le relazioni reciproche di questi due corpi tra loro; queste non sono proprietà geometriche; sono proprietà del tutto indipendenti dalla geometria metrica.
(129) Dunque io posso solo fare delle constatazioni che mostrano che i corpi sperimentati si muovono secondo un gruppo o un altro (Eucl o Lobac); da tali constatazioni, tratte dall’osservazione di un esempio, potremmo sapere che un corpo si muove secondo un gruppo, e che al contrario non si muove secondo un altro gruppo possibile; infatti certe constatazioni NON sono possibili se i corpi su cui si è sperimentato si muovono secondo un gruppo che possiede, ad esempio, la medesima struttura (leggi) di quello di Lobacevskij. Quindi le constatazioni che possiamo fare sono sufficienti per dimostrare che questi corpi si muovono secondo il gruppo euclideo (cioè sono compatibili con esso), o almeno che NON si muovono secondo quello di Lobacevskij.
Sono constatazioni che possono essere compiute senza disporre di alcuna nozione sulla forma o sulle proprietà geometriche dello spazio.
Abbiamo due esempi (pg131) di situazioni possibili in cui in un caso i corpi si muovono secondo il gruppo E e un altro caso in cui si muovono secondo il gruppo L. Ma questo non significa affatto che abbiamo a che fare nel primo caso con un’esperienza che dimostra che lo spazio è euclideo e nel secondo caso con una che dimostra che lo spazio è L (l’esper verte solo sui corpi e sulle loro relazioni, non ci dice niente sullo spazio!). Anzi, potremmo immaginare dei corpi che rendano possibili le constazioni del secondo tipo; e se un esperto di meccanica costruisse questi corpi, allora essi esisterebbero al pari dei nostri solidi invariabili; e allo stesso modo le due diverse teorie/gruppi che ne spiegano i movimenti sussisterebbero una accanto all’altra, entrambe legittime, anche se con applicazioni per così dire diverse.
Le esperienze dunque vertono NON sullo spazio ma sui corpi; e di essi non possiamo conoscere che le reciproche relazioni. Delle relazioni dei corpi con lo spazio non possiamo sapere niente. Quindi nessuna geometria diversa da quella euclidea è contraddittoria; poichè infatti essa è smplicemente lo studio delle leggi degli spostamenti di corpi, le quali possono essere (in un istante iniziale) di un certo tipo, e differenti da quelle a cui siamo abituati.
