Poincarè - Lo spazio e la geometria

[4]

[ nb: GRUPPO=INSIEME DI LEGGI E RELAZIONI (=modello, teoria). GLI SPOSTAMENTI FORMANO UN GRUPPO. (-->teoria dei gruppi di Klein) ]

L’esperienza svolge un ruolo indispensabile nella genesi della geometria (cioè il modo in cui sorge in noi l'idea di una certa geometria e non di un’altra). Ma non per questo si può concludere che la geometria sia una scienza sperimentale, pochè in tal caso sarebbe approssimativa e provvisoria.

La geometria è sì lo studio dei movimenti dei solidi, ma non dei solidi naturali; ha per oggetto dei solidi ideali, assolutamente invariabili, che non sono che un’immagine dei primi, semplificata e molto lontana.

La nozione di questi corpi solidi ideali invariabili è interamente frutto della nostra mente; l’esperienza ordinaria è solo l’occasione che la fa emergere (rispetto ad altre a cui saremmo meno abituati, per via delle caratteristiche differenti della nostra comune esperienza).

Quindi, oggetto della geom è lo studio di un GRUPPO particolare (=insieme di leggi e relazioni); ma il concetto generale di gruppo non è una forma della ns sensibilità, bensì una forma del nostro intelletto; cioè preesiste nella nostra mente. Poichè abbiamo normalmente a che fare con un’esperienza che ha certe caratteristiche e non altre, tra tutti i gruppi possibili dovremo sceglierne uno, quello che è il più comodo per rapportare/descrivere/spiegare i fenomeni naturali (del nostro mondo e della nostra esperienza). In questo senso è l’esperienza che ci guida nella scelta, ma non ce la impone. Infatti non ci dice (ed è insensato chiederselo) quale sia la geom più vera, ma ci dice qual è quella più comoda. Il nostro è un mondo euclideo. Cioè PER NOI LA GEOM EUCLIDEA è e resterà sempre la più comoda (perchè è la più semplice in sè, e perchè si accorda bene con le proprietà dei solidi naturali, corpi che tocchiamo e che ci sono ben percepibili e familiari, e con quali costruiamo i nostri strumenti di misura. (cfr: 87)

È possibile immaginare e costruire mondi di fantasia (non euslidei, a quattro dimensioni....) e descriverli tuttavia in termini geometrici, cioè senza smettere di usare il linguaggio della geom ordinaria. Non è necessario cambiarlo nemmeno se fossimo trasportati in simili mondi. Esseri educati in questi mondi troveranno più comodo costruire una geometria differente dalla nostra, che meglio si adatti alle loro impressioni.

(91)

il problema è capire da dove ci viene la nostra nozione di spazio, e se essa sia davvero tridimensionale, e in che rapporto sta con lo spazio propriamente geometrico rispetto allo spazio rappresentativo. Dire che ci rappresentiamo gli oggetti nello spazio non è del tutto corretto, serve un’analisi approfondita dello spazio come ci appare e delle proprietà che invece ha quello propriamente geometrico. (dire così dà per scontata la preesistenza della nozione di spazio, nel quale noi dobbiamo slo proiettare” i corpi esterni”.) Innanzitutto lo spazio geometrico (che è l’oggetto della geometria) ha le seguenti caratteristiche/proprietà: è continuo; è infinito; ha tre dimensioni; è omogeneo (=tutti i suoi punti sono uguali tra loro); è isotropo (= tutte le rette che passano per uno stesso punto sono identiche tra loro).

Ora dobbiamo confrontarlo con lo SPAZIO RAPPRESENTATIVO, che è il quadro delle nostre sensazioni e rappresentazioni (=riproduzione delle ns sensazioni), e che a sua volta si può dividere in visivo, motorio, tattile. Tutti e tre i caratteri dello sapzio rappresentativo sono lontani dallo spazio geometrico. Vediamo perchè.

Lo spazio visivo - Un’impressione visiva è data da un’immagine che si forma sul fondo della retina. Esso è sì continuo, ma possiede solo 2 dimensioni (è solo valutando le distanze che percepiamo la terza dimensione, e questo grazie allo sforzo di convergenza che fanno gli occhi); non è omogeneo, perchè non tutti i punti della retina sono uguali, cioè non svolgono il medesimo ruolo (es il punto che occupa il centro apparirà diverso da uno che occupa i bordi), non è uno spazio isotropo. [nb: percepire 3dimensioni=gli elementi delle ns sensazioni visive saranno completamente definiti quando se ne conosceranno 3 di loro]. È tuttavia vero che noi appunto percepiamo uno spazio che ha, effettivamente, 3 dimensioni. La terza dimensione ci è rivelata dallo sforzo di accomodazione e dalla convergenza degli occhi; sono qeuste due variabili indiscernibili. Ma questa loro relazione costante è un fatto sperimantale. Non è una regola fissa, a priori, per cui non ci è possibile pensare il contrario. Infatti un essere su un mondo in cui tali due variabili risultasssero separate, potrebbe percepire la quarta dimensione.

Lo spazio che noi percepiamo rimane invece un continuo fisico a tre dimensioni.

Lo spazio motorio e tattile (95) – Oltre ai dati della vista e del tatto (ancora più complicato), ci sono altre sensazioi che contribuiscono alla formazione della nozione di spazio; le SENSAZIONI MUSCOLARI, a cui corrisponde il quadro dello spazio motorio. Le cose si fanno complicate in quanto considerando la quantità di sensazioni muscolari ciascuna di provenienza diversa, le variabili del ns spazio sarebbero tante quante i muscoli che abbiamo, e quindi dovremmo percepire tante dimensioni quanti sono i ns muscoli. Tuttavia le sensazioni muscolari concorrono a formare la nozione di spazio in quanto abbiamo la capacità di sentire la direzione del movimento, un sentire geometrico. In realtà tutto questo , tutte le mie sensazioni/movimenti con la stessa direzione sono legate nella ns mente da una semplice associazione di idee. Grazie ad essa sentiamo la direzione. Ma tale associazione è qualcosa di acquisito, risultante da un’abitudine, a sua volta frutto di innumerevoli esperienze; dipende dunque dall’educazioe dei ns sensi in un certo modo e in un certo ambiente.

(97)

Abbiamo quindi visto come lo spazio rappresentativo differisca da quello geometrico.

Allora quando diciamo che “proiettiamo o ci rappresentiamo” nello spazio geometrico gli oggetti esterni siamo poco precisi e poco corretti. Infatti non è possibile rappresentarci i corspi esterni nello spazio geometrico. Le rappresentazioni che si formano nella ns mente tramite i ns sensi formano lo sapzio rappresentativo, ed esso è solo un’IMMAGINE dello spazio geometrico, deformata da una sorta di prospettiva. Allora non è corretto dire che ci rappresentiamo i corpi esterni nello sp geom, ma se mai che ragioniamo su questi corpi come se fossero situati nello spazio geometrico. E più che proiettare un corpo nello spazio, ci rappresentiamo i movimenti necessari per raggiungere quell’oggetto. Le sensazioni muscolari che accompagnano i movimenti non hanno infatti carattere geometrico, e quindi non implicano in alcun modo la preesistenza della nozione di spazio.

Dunque, l’idea di spazio geometrico non proviene dalle ns sensazioni. Resta da vedee da dove provenga.

Nessuna delle nostre sensazioni da sole avrebbe potuto condurci all’idea di spazio: vi giungiamo studiando le leggi secondo le quali le sensazioni si succedono.

Sappiamo innanzitutto che le nostre sensazioni sono soggette al CAMBIAMENTO. Tali cambiamenti dipendono dagli oggetti che abbiamo davanti, e posso essere c di stato e c di posizione (spostamento). Mentre il orimo non può essere corretto, il cambiamento di posizione ci permette di ripristinare l’insieme primitivo di impressioni, cioè di ristabilire lo stato iniziale. Si possono dunque correggere (volotariamente o meno – es. Oggetto che si sposta e noi che lo “teniamo d’occhio”, compensando il suo cambiamento di posizione/movimento con un altro movimento del ns occhio).

La nostra sensazione di spazio dipende quindi dal ns senso muscolare e dalla nostra possibilità di movimento.

(101) Non possiamo sapere a priori se la compensazione è possibile; è l’esperienza che ci insegna che a volte si realizza, e solo da quasto fatto sperimentale partiamo per distinguere tra c di stato e di posizione.

(103)

Tra gli oggetti che ci circondano ve ne sono alcuni che di frequente sono soggetti a spostamenti e il cui movimento può essere corretto da un movimento correlato del ns corpo; sono i CORPI SOLIDI (forma fissa, non si deformano --> solidi invariabili). È grazie all’esistenza di corpi solidi in natura che esiste la geometria.

Tra i cambiamenti possiamo distinguere tra interni ed esterni. E due fenomeni diversi sono per noi accomunati dal fatto di costituire spostamenti ovvero di poter essere corretti da un ns movimento correlato; hanno cioè caratteristiche spaziali simili, perchè sono correggibili con lo stesso movimento di compensazione. La compensazione è possibile però solo se i costri organi di senso si muovono in blocco, tutti assieme, come un corpo solido.

In tutto questo siamo portati a distinguere tra due categorie di fenomeni: i camb esterni sono quelli “involontari”, degli oggetti esterni; i camb interni sono quelli di carattere opposto (volontari e accompagnati da sensaz muscolari) che noi attribuiamo ai movimenti del ns corpo. Sono due categorie. Alcuni camb di una categoria sono compensati/correggibili da un cambiam correlato dell’altra categoria; cioè tra quelli esetrni distinguiamo quelli che possono essere da noi corretti( che hanno un correlato) e che sono detti per questo spostamenti; e viceversa.

C’è quindi reciprocità tra le categorie e grazie ad essa possiamo definire una classe di fenomeni che chiamiamo spostamenti. (= tipo di cambiamento, di posizione, che è suscettibile di correzione/compensazione da parte di un movimento ad esso correlato proveniente da noi, dal ns corpo.) (107)

L’OGGETTO DELLA GEOMETRIA sono le LEGGI di tali SPOSTAMENTI. Nella nostra esperienza, sono le leggi secondo cui si muovono i solidi invariabili. (ad es in un mondo di solidi differenti, un mondo non euclideo, saranno le leggi di corpi che si muovono in modo diverso, influenzato da altre variabili. --> vedi 109).

La geometria dunque si occupa, in linea generale, delle leggi degli spostamenti (fenomeni dove il movimento può essere corretto/compensato da un altro movimento volontario correlato, del ns corpo/organi di senso; in modo da riportare l’oggetto allo stato iniziale.

Queste leggi sono molte, ed è troppo complicato analizzarle tutte (vedremo ora solo la legge di omogeneità); l’importante è sapere che l’insieme di tutte queste leggi a cui rispondono gli spostamenti formano quello che i matematici chiamano GRUPPO (=modello, teoria, insieme di leggi e relazioni)

La legge di omogeneità (per cui lo spazio è omogeneo e isotropo) è spiegabile riprendendo il discorso fatto per la natura del ragionamento matematico (dimostrazione per ricorrenza, cioè la possibilità di ripetere indefinitamente una stessa operazione); analogamente un movimento che si è prodotto una volta può ripetersi una seconda e così via, senza che le sue proprietà variino. Cioè, esemplificando, poichè questa legge è visibile anche nella ns esperienza (ce ne fornisce un esempio), un movimento a per passare da stato A a stato B, corretto da un movimento correlato b sarà analogo ad altro un movimento, a1 che ci fa passare da A a B e che è allo stesso modo suscettibile di essere corretto da un movimento correlato b1. Le sensazioni muscolari del movimento correlato b corrispondono alle stesse sensaz muscolari del movim correlato b1. In questo senso diciamo che lo spazio è omogeneo e isotropo.

Quindi, lo SPAZIO GEOMETRICO non è un quadro imposto a ciascuna delle ns rappresentazioni (immagini); se fosse così, sarebbe impossibile rappresentarsi un’immagine spogliata di questo quadro, e la ns geometria non potrebbe essere da noii cambiata in nessun modo. Invece come abbiamo detto, la geometria non è che il riassunto delle leggi secondo cui queste immagini si succedono; proprio per questo, niente ci impedisce di immaginare una serie di rappresentazioni simili alle nostre che però si succedono secondo leggi (gruppi) differenti da quelle a cui siamo abituati (perchè altri gruppi cioè altre teorie, modelli, insiemi di leggi e relazioni significano altre geometrie). E è chiaro che esseri educati in un ambiente con queste leggi avrebbero una geometria molto diversa dalla nostra (ma pur sempre legittima!); si possono ipotizzare mondi immaginari con certe caratteristiche e quindi anche leggi di un certo tipo (vedi 109, esempio di mondo racchiuso n una sfera); ma nulla in queste ipotesi è contraddittorio o inimmaginabile.

Per capire il perchè bisogna tener presente innanzitutto la regola generale, per cui la geometria si occupa delle leggi degli spostamenti (movimenti suscettibili di correzione/compensazione).

Ora, per noi (nel ns mondo “euclideo”) la geometria sarà lo studio delle leggi degli spostamenti di solidi invariabili (la cui nozione ci viene suggerita dall’esperienza, nella quale troviamo corpi solidi naturali invariabili); per esseri di un mondo non euclideo sarà ancora lo studio delle leggi di spostamenti, ma spostamenti peculiari, non euclidei (ad es corpi saranno solidi che subiscono dilatazioni ineguali conformi ad una legge di temperatura) ; poichè i corpi in questo mondo ipotetico sono sottoposti a differenti leggi, gruppi, anche la geometria sarà lo studio di leggi, gruppi differenti, poichè appunto essa riguarda unicamente le relazioni tra i corpi, corpi che si muoveranno secondo gruppi non euclidei.

Ciò che rimane uguale nel ns ipotetico mondo non euclideo è la possibilità di correggere/compensare i cambiamenti di posizione degli oggetti esterni grazie a movimenti correlati degli esseri senzienti che abitano questo mondo; in modo da ripristinare lo stato iniziale, ossia l’insieme originario di impressioni. Ed è questo che permette di costruire un geometria; infatti essa consisterà nello studio dei cambiamenti di posizione che si potraano individuare; tali cambiamenti saranno spostamenti non euclidei, e dunque anche la geometria che li studia sarà un a geometria non euclidea. Così degli esseri con la mente uguale alla nostra, ma educati in un mondi del genere avranno una geometria diversa. (+ Quattro dimensioni – 113,115 XX)

Conclusioni:

Abbiamo constatato che l’esperienza svolge un ruolo indispensabile per la genesi della geometria; ma non si può concludere che essa sia una scienza sperimentale! Infatti sarebbe approssimativa e grossolana. Invece, l’oggetto di studio proprio della geometria sono corpi solidi non empirici/naturali, bensì solidi ideali, invariabili, che sono un’immagine dei primi molto semplififcata. La nozioni di questi corpi solidi ideali è frutto della nostra mente. L’esperienza serve solo come occasione per farli emergere; infatti i solidi naturali ci sono familiari in quanto sono quelli che ci circondano nel nostro mondo; e poichè la nozione generale di gruppo preesiste nella nostra mente, come forma del ns intelletto, è l’esperienza che ci deve guidare nella scelta del gruppo più comodo per rapportarci ai fenomeni naturali. Dunque non ha senso chiedersi se ci sia una geometria più vera; possimo solo sapere qual è la più comoda, ed è certamente per noi quella euclidea. Ma ciò non toglie che altre geometrie siano ugualemente legittime, benchè lontane dalla ns esperienza/sensibilità/abitudine.

[ Da: J.H. Poincarè (1907), La scienza e l'ipotesi, Bompiani ]

Poincarè - Grandezza matematica ed esperienza

[2]

Da dove ci viene la nozione/concetto di CONTINUO? Bisogna presupporlo? Esiste concretamente? O è solo un’ipotesi per spiegare i numeri ad es frazionari...? (41)

Il continuo matematico è, per così dire, la possibilità di intercalare nella scala dei numeri interi sempre nuovi termini, indefinitamente. Prendiamo ad esempio la scala dei numeri interi; tra due scalini consecutivi intercaliamo uno io più scalini intermedi, e tra questi altri scalini ancora, e così via indefinitamente. Avremo così un numero illimitato di termini, che saranno i numeri detti frazionari, razionali o commensurabili; e ancora, tra questi termini, che sono già infiniti, se ne devono intercalare altri, i numeri irrazionali (o incommensurabili – vedi 42,43). Ogni termine è consecutivo all’altro, e però anche esterno rispetto a tutti gli altri.

Il continuo è anceh stato definito l’unità nella molteplicità; ma comunque l’autentico continuo matematico è diverso da quello dei fisici e dei metafisici.

L’unica proprietà di questi scalini, che rientra nella definizione, è quella di trovarsi prima o dopo altri scalini; che è come dire che quello che ci interessa è l’ordine in cui sono disposti i termini, che fin qui non sono misurabili; infatti possiamo dire se una di queste grandezze (i termini) è maggiore dell’altra, ma non se è due volte maggiore.

[ NB: Poichè ciò non è sufficiente per le applicazioni , per poter misurare tali grandezze bisogna imparare a misurare l’intervallo che separa termini qualsiasi (cfr. misurazione continuo, 53)].

Viene ora da chiedersi se la nozione del continuo matematico sia tratta dall’esperienza. (45)

Non è così, infatti l’esperienza dà se mai luogo al continuo fisico. Infatti dovremmo considerare i dati bruti dell’esperienza (= le nostre sensazioni) come misurabili; lo si è creduto possibile, ma osservando gli esperimenti più da vicino vediamo che non è così. Prendiamo ad esempio un peso

A = 11gr, B = 12gr, C =13gr. Osserviamo che il peso A e il peso B producono sensazioni identiche, e che allo stesso modo il peso B è indistinguibile dal peso C.

Questi risultati possono essere così espressi, e questa sarà la formula del CONTINUO FISICO:

A = B, B = C, A < C

....che significa che, appunto per l’imperfezione dei ns sensi, distinguiamo A da C (11 < 13) ma non A da B.

Anche qualora usassimo uno strumento più preciso per distinguere A da B, intercalando altri termini essi non sarebbero distinguibili proprio perchè è sempre con i nostri sensi che usiamo lo strumento, e tali sensi sono naturalmente imprecisi.

Ecco che allora la contraddizione che emerge dalla formula sopra (continuo fisico) ha reso necessaria l’invenzione del continuo matematico. Questa nozione è stata interamente creata dalla mente, ma è stata l’esperienza a dargliene l’occasione.

La contraddizione empirica (causata dall’impossibilità di distinguere tra termini sempre più numerosi e per quanto vicini pur sempre diversi tra loro) viene meno quando il numero dei termini viene riguardato come infinito: cioè la mente, per sfuggire alla contraddizione contenuta nei dati empirici, è indotta a creare il concetto di un continuo formato da un numero indefinito di termini.

Ma la creazione del continuo matematico ha anche a che fare con la potenza della nostra mente; sappiamo di poter concepire la possibilità di aggiungere una unità ad una collezione di unità, e ne prendiamo coscienza grazie all’esperienza; ma da qui in poi sentiamo (intuizione) che il nostro potere non conosce limite e potremmo contare indefinitamente, benche non abbiamo mai contato che un numero finito di oggetti. Allo stesso modo, nell’intercalare nuovi termini medi tra due consecutivi sentiamo che questa operazione può essere proseguita indefinitamente, al di là di ogni limite, e non c’è alcuna ragione intrinseca per fermarsi.

Il continuo matematico è di primo ordine quando è un insieme di termini formati secondo la scala dei numeri commensurabili;

si secondo ordine quando i suoi termini sono della scala dei numeri incommensurabili (cfr.41)

(....49)

Quindi il continuo matematico non è altro che un sistema particolare di simboli, la cui potenza è limitata unicamente dalla necessità di evitare qualsiasi contraddizione; la mente ne fa uso solo perchè l’esperienza le ha dato l’occasione, che qui era costituita dal contraddittorio concetto di continuo fisico tratto dai dati bruti dei sensi. Così appunto siamo obbligati a immaginare un sistema di simbili sempre più complicati. (55) Ma attenzione: benchè possiamo immaginare nuovi simboli e intercalare nuovi termini all’infinito, immagineremo simboli senza applicazioni possibili. Anche se essi sono legittimi, lo sono come mere curiosità logiche, e sono invece troppo poco utili per costinutire ad es un eventuale continuo del terzo ordine. La mente fa dunque uso della sua facoltà creatrice solo quando l’esperienza gliene impone la necessità, cioè quando può esser utile.

MISURAZIONE DEL CONTINUO (53)

Come lo abbiamo trattato fin qui, il continuo non è misurabile; ci siamo solo preoccupati dell’ordine in cui sono disposti i termini e non della loro grandezza e misurabilità.

Il continuo diventa una grandezza misurabile a cui è possibile applicare le operazioni dell’aritmetica quando impariamo a confrontare l’intervallo tra due termini qualsiasi. Per misurare l’intervallo è necessaria una nuova convenzione: si converrà che che ad es l’intervallo compreso tra il termine A e il termine B sarà uguale all’intervallo tra B e C; ossia gli scalini intercalati ad es tra i num interi saranno per convenzione considerati equidistanti.

Ecco che in questo modo si può definire l’addizione tra due grandezze (AB, BC ecc), che è cmq soggetta a varie proprietà.

(55 no)

CONTINUO FISICO A PIU’ DIMENSIONI (57...)

Riprendiamo l’esempio precedente dei pesi A, B e C dove riuscivamo a distinguere A da C ma non A da B. Essi saranno insiemi di sensazioni, e ciascun insieme sarà detto elemento. Detto ciò, un sistema di elementi formerà un continuo (fisico) se si può passare da uno qualunque di essi a un altro attraverso una successione di elementi consecutivi concatenati in modo che ciascuno di essi non possa essere distinto dal precedente. Questa catena è analoga alla linea del matematico, così come un elemento è analogo al punto (dove però il punto non ha estensione ecc, è solo un paragone per capire). Inoltre, posto che da un continuo C si può togliere una serie di elementi e considerarli come non appartenenti a esso, questo insieme di elementi sarà detta sezione del continuo C. grazie alla sezione sarà possibile dividere il continuo C in più continui distinti.

Il continuo MATEMATICO a più dimensioni

La nozione di continuo matematico a n dimensioni è sorta in modo analogo al continuo che abbiamo visto all’inizio. Un punto di tale continuo è definito da un sistema di grandezze distinte che sono dette le sue coordinate. Non è necessario che queste grandezze siano misurabili. Quando però si è voluta introdurre la misura nel continuo a n dimensioni tale continuo è divenuto lo spazio ed è nata la geometria.

[ Da: J.H. Poincarè (1907), La scienza e l'ipotesi, Bompiani ]

Poincarè - Natura del ragionamento matematico

[1]

La possibilità stessa della matematica sembra una insolubile contraddizione; da dove le viene infatti il rigore e la certezza che le sono propri? E se essa è solo in apparenza deduttiva (quindi è induttiva), allora tutte le sue proposizioni derivano l’una dall’altra riducendo la matematica a un’immensa tautologia? È vero che si può sempre risalire agli assiomi che sono alla base del ragionamento matematico, ma come classificarli? Se non sono nè fatti sperimentali, nè provengono dal princ di non contraddizione allora non resta che classificarli tra i giudizi sintetici a priori. Con questo però non abbiamo eliminato le nostre difficoltà, infatti il ragionamento sillogistico è incapace di aggiungere qualcosa di nuovo ai dati forniti. E però la scienza matematica non può nemmeno essere puramente analitica, altrimenti una mente molto potente potrebbe coglierne in un sol colpo tutte le verità, come qualcosa di immediato. Ma così non è. Se quindi si rifiutano entrambe queste coseguanza, bisogna ammettere che il ragionamento matematico possiede di per sè una sorta di virtù creatrice e che quindi in questo si distingue dal sillogismo.

Per capire da dove provengano gli assiomi della scienza matematica dobbiamo cercare laddove essa si presenta nella sua forma pura, ossia nell’aritmetica; non nelle sue forme complesse ma all’inizio, cioè dalla dimostrazione dei teoremi più elementari del calcolo algebrico: addizione (19), moltiplicazione (23) e loro proprietà (add—associativa e commutativa, m— distributiva, commutativa). [...]

Si mostra così che il procedimento per definire le operazioni più elementari del calcolo algebrico è uniforme e sempre lo stesso: è il ragionamento/dimostrazione per ricorrenza (25).

Si stabilisce dapprima un teorema per n=1; poi si dimostra che, se è vero per n – 1, è vero anche per n, e quindi per tutti i numeri interi. (21...) Nell’addizione ad esmpio, dovendo definire x + a e avendo definito l’operazione per x + 1, potremo definirla per ricorrenza anche per x + 2, x + 3, ecc. In questo senso si dice che la proposizione enunciata è dimostrata per ricorrenza.

La dimostrazione per ricorrenza è dunque il ragionamento matematico per eccellenza, di cui possiamo servirci per dimostrare le regole del calcolo algebrico; esso è uno strumento più potente del semplice sillogismo, ma resta analitico e non ci insegna niente di nuovo. È grazie al ragionamento per ricorrenza che la matematica può procedere nel suo cammino, in quanto tale ragionamento è fecondo.

Il carattere essenziale del RR è che contiene condensati in un’unica formula un’infinità di sillogismi. Infatti, ad esempio, si può dire che:

Il teorema è vero per il numero 1.

Se è vero per 1, è vero anche per 2.

Se è vero per 2, è vero anche per 3.

....e così via.

Si vede che la conclusione del sillogismo precedente serve da premessa minore di quello successivo.

E inoltre le premesse maggiori di tutti i nostri sillogismi possono essere ricodotte a un’unica formula:

Se il teorema è vero per n – 1, è vero anche per n.

Ecco che una tale sequenza di sillogismi, che non finirebbe mai, viene così ridotta a una frase di poche righe. Si comprende ora perchè ogni enunciato particolare di un teorema possa essere verificata con procedimenti puramente analitici. Cioè la verificazione è sempre possibile con enunciati particolari: se ad es vogliamo dimostrare che il nostro teorema è vero per il numero 6, ci basterà stabilire i primi cinque sillogismi precedenti.

Ma ovviamente, per quanto indietro sia possibile spingersi per questa via, non si arriverà mai al teorema generale applicabile a tutti i numeri (il solo che possa essere oggetto di scienza); si avranno sempre e solo, per quanto il numero possa essere grande e raggiungibile, enunciati particolari.

Il ragionamento per ricorrenza è allora una sorta di strumento per passare dal finito all’infinito; infatti ci fa superare in un balzo tutte le tappe che vogliamo, e ci evita lunghe e fastidiose verificazioni, le quali per altro oltre che essere impraticabili, non si addicono ad una scienza che sia rigorosa ed esatta (e che cioè non può affidarsi ogni volta ad una verifica per così dire sperimentale). C’è anche da dire che qui gioca un importante ruolo l’idea di infinito matematico: infatti esso solo permette di generalizzare, e senza generalizzazione non vi sarebbe scienza.

(29) Resta da capire quale sia la regola del RR, da dove venga la sua “autorità”. Non può venirci dall’esperienza come abbiamo appena visto (nell’esperienza può esserci solo la verificazione, ma non si può abbracciare la sequenza infinita di numeri). Davanti al RR, cioè davanti all’infinito, sia il princ di non contradd sia l’esperienza falliscono: poichè invece il RR è il tipo genuino di giudizio sintetico a priori. E questo giudizio si impone a noi con un’evidenza irresistibile perchè è l’affermazione della potenza della mente che SA di poter CONCEPIRE LA RIPETIZIONE di un medesimo atto allorchè questo sia stato una volta possibile. La mente ha un’intuizione diretta di questa potenza e e l’esperienza non può essere che un’occasione per servirsene e prenderne coscienza.

Il RR è dunque l’INDUZIONE matematica (+33), (poichè procede dal particolare al generale) ed è l’affermazione di una proprietà della mente stessa (dove invece nella fisica l’induzione non è così certa poichè poggia sulla credenza in un ordine generale dell’Universo, quindi fuori di noi).

L’induzione matematica è possibile solo se una medesima operazione può essere ripetuta indefinitamente. La matematica è infatti la scienza che ci insegna a combinare il simile col simile; e il suo scopo è di indovinare il risultato della combianzione senza doverla rifare pezzo per pezzo (teorema generale vs. verificazione), cioè senza dover ripetere la stessa operazione e facendoci conoscere in anticipo il risultato tramite una sorta si induzione. Per fare ciò occorre però che queste operazioni siano simili tra loro, cioè che ci sia un’omogeneità. (cfr.239)

(35) Quindi la matematica può, come le altre scienze, procedere dal particolare al generale (IND); tuttavia non basta l’induzione al ragionamento matematico.

Infatti solo se all’induzione è affiancata la costruzione si ha la vera scienza matematica.

Infatti anche nella sua parte realmente analitica, non si può dire che la matem proceda per deduzione, cioè dal generale al particolare; è più corretto dire che procede per costruzione: infatti i matematici costriscono combinazioni (insiemi) sempre più complicate; poi, dallla loro analisi tornano ai loro elementi primitivi, scorgendo le relazioni tra gli elementi stessi e dunque quelle tra gli insiemi. È sì un cammino analitico ma non una vera e propria deduzione (dal gener al partic).

Ed è una condizione sì necessaria, ma non sufficiente per fondare il ragionamento matematico. C’è infatti bisogno, perchè la costruzione possa essere utile per andare oltre, di una unità tra i suoi elementi, per cosiderarla qualcosa di più di una mera giustapposizione di elementi semplici. È proprio qui che ci viene in aiuto l’induzione matematica: essa ci permette di collocare una costruzione accanto ad altre costruzioni (insiemi) analoghe, formando le specie di un medesimo genere. In questo modo le proprietà del genere saranno dimostrabili senza dover stabilirle in successione per ciscuna specie; nell’esempio di un poligono, è chiaro che la conoscenza del teorema generale riguardo a un quadrilatero ci fa trovare le sue proprietà senza dover studiare le relazioni tra i triangoli elementari che lo compongono.

Quindi, mentre il procedimento analitico per costruzione ci lascia allo stesso livello, è solo l’induzione matematica che può insegnarci qualcosa di nuovo.

[ Da: J.H. Poincarè (1907), La scienza e l'ipotesi, Bompiani ]