[1]
La possibilità stessa della matematica sembra una insolubile contraddizione; da dove le viene infatti il rigore e la certezza che le sono propri? E se essa è solo in apparenza deduttiva (quindi è induttiva), allora tutte le sue proposizioni derivano l’una dall’altra riducendo la matematica a un’immensa tautologia? È vero che si può sempre risalire agli assiomi che sono alla base del ragionamento matematico, ma come classificarli? Se non sono nè fatti sperimentali, nè provengono dal princ di non contraddizione allora non resta che classificarli tra i giudizi sintetici a priori. Con questo però non abbiamo eliminato le nostre difficoltà, infatti il ragionamento sillogistico è incapace di aggiungere qualcosa di nuovo ai dati forniti. E però la scienza matematica non può nemmeno essere puramente analitica, altrimenti una mente molto potente potrebbe coglierne in un sol colpo tutte le verità, come qualcosa di immediato. Ma così non è. Se quindi si rifiutano entrambe queste coseguanza, bisogna ammettere che il ragionamento matematico possiede di per sè una sorta di virtù creatrice e che quindi in questo si distingue dal sillogismo.
Per capire da dove provengano gli assiomi della scienza matematica dobbiamo cercare laddove essa si presenta nella sua forma pura, ossia nell’aritmetica; non nelle sue forme complesse ma all’inizio, cioè dalla dimostrazione dei teoremi più elementari del calcolo algebrico: addizione (19), moltiplicazione (23) e loro proprietà (add—associativa e commutativa, m— distributiva, commutativa). [...]
Si mostra così che il procedimento per definire le operazioni più elementari del calcolo algebrico è uniforme e sempre lo stesso: è il ragionamento/dimostrazione per ricorrenza (25).
Si stabilisce dapprima un teorema per n=1; poi si dimostra che, se è vero per n – 1, è vero anche per n, e quindi per tutti i numeri interi. (21...) Nell’addizione ad esmpio, dovendo definire x + a e avendo definito l’operazione per x + 1, potremo definirla per ricorrenza anche per x + 2, x + 3, ecc. In questo senso si dice che la proposizione enunciata è dimostrata per ricorrenza.
La dimostrazione per ricorrenza è dunque il ragionamento matematico per eccellenza, di cui possiamo servirci per dimostrare le regole del calcolo algebrico; esso è uno strumento più potente del semplice sillogismo, ma resta analitico e non ci insegna niente di nuovo. È grazie al ragionamento per ricorrenza che la matematica può procedere nel suo cammino, in quanto tale ragionamento è fecondo.
Il carattere essenziale del RR è che contiene condensati in un’unica formula un’infinità di sillogismi. Infatti, ad esempio, si può dire che:
Il teorema è vero per il numero 1.
Se è vero per 1, è vero anche per 2.
Se è vero per 2, è vero anche per 3.
....e così via.
Si vede che la conclusione del sillogismo precedente serve da premessa minore di quello successivo.
E inoltre le premesse maggiori di tutti i nostri sillogismi possono essere ricodotte a un’unica formula:
Se il teorema è vero per n – 1, è vero anche per n.
Ecco che una tale sequenza di sillogismi, che non finirebbe mai, viene così ridotta a una frase di poche righe. Si comprende ora perchè ogni enunciato particolare di un teorema possa essere verificata con procedimenti puramente analitici. Cioè la verificazione è sempre possibile con enunciati particolari: se ad es vogliamo dimostrare che il nostro teorema è vero per il numero 6, ci basterà stabilire i primi cinque sillogismi precedenti.
Ma ovviamente, per quanto indietro sia possibile spingersi per questa via, non si arriverà mai al teorema generale applicabile a tutti i numeri (il solo che possa essere oggetto di scienza); si avranno sempre e solo, per quanto il numero possa essere grande e raggiungibile, enunciati particolari.
Il ragionamento per ricorrenza è allora una sorta di strumento per passare dal finito all’infinito; infatti ci fa superare in un balzo tutte le tappe che vogliamo, e ci evita lunghe e fastidiose verificazioni, le quali per altro oltre che essere impraticabili, non si addicono ad una scienza che sia rigorosa ed esatta (e che cioè non può affidarsi ogni volta ad una verifica per così dire sperimentale). C’è anche da dire che qui gioca un importante ruolo l’idea di infinito matematico: infatti esso solo permette di generalizzare, e senza generalizzazione non vi sarebbe scienza.
(29) Resta da capire quale sia la regola del RR, da dove venga la sua “autorità”. Non può venirci dall’esperienza come abbiamo appena visto (nell’esperienza può esserci solo la verificazione, ma non si può abbracciare la sequenza infinita di numeri). Davanti al RR, cioè davanti all’infinito, sia il princ di non contradd sia l’esperienza falliscono: poichè invece il RR è il tipo genuino di giudizio sintetico a priori. E questo giudizio si impone a noi con un’evidenza irresistibile perchè è l’affermazione della potenza della mente che SA di poter CONCEPIRE LA RIPETIZIONE di un medesimo atto allorchè questo sia stato una volta possibile. La mente ha un’intuizione diretta di questa potenza e e l’esperienza non può essere che un’occasione per servirsene e prenderne coscienza.
Il RR è dunque l’INDUZIONE matematica (+33), (poichè procede dal particolare al generale) ed è l’affermazione di una proprietà della mente stessa (dove invece nella fisica l’induzione non è così certa poichè poggia sulla credenza in un ordine generale dell’Universo, quindi fuori di noi).
L’induzione matematica è possibile solo se una medesima operazione può essere ripetuta indefinitamente. La matematica è infatti la scienza che ci insegna a combinare il simile col simile; e il suo scopo è di indovinare il risultato della combianzione senza doverla rifare pezzo per pezzo (teorema generale vs. verificazione), cioè senza dover ripetere la stessa operazione e facendoci conoscere in anticipo il risultato tramite una sorta si induzione. Per fare ciò occorre però che queste operazioni siano simili tra loro, cioè che ci sia un’omogeneità. (cfr.239)
(35) Quindi la matematica può, come le altre scienze, procedere dal particolare al generale (IND); tuttavia non basta l’induzione al ragionamento matematico.
Infatti solo se all’induzione è affiancata la costruzione si ha la vera scienza matematica.
Infatti anche nella sua parte realmente analitica, non si può dire che la matem proceda per deduzione, cioè dal generale al particolare; è più corretto dire che procede per costruzione: infatti i matematici costriscono combinazioni (insiemi) sempre più complicate; poi, dallla loro analisi tornano ai loro elementi primitivi, scorgendo le relazioni tra gli elementi stessi e dunque quelle tra gli insiemi. È sì un cammino analitico ma non una vera e propria deduzione (dal gener al partic).
Ed è una condizione sì necessaria, ma non sufficiente per fondare il ragionamento matematico. C’è infatti bisogno, perchè la costruzione possa essere utile per andare oltre, di una unità tra i suoi elementi, per cosiderarla qualcosa di più di una mera giustapposizione di elementi semplici. È proprio qui che ci viene in aiuto l’induzione matematica: essa ci permette di collocare una costruzione accanto ad altre costruzioni (insiemi) analoghe, formando le specie di un medesimo genere. In questo modo le proprietà del genere saranno dimostrabili senza dover stabilirle in successione per ciscuna specie; nell’esempio di un poligono, è chiaro che la conoscenza del teorema generale riguardo a un quadrilatero ci fa trovare le sue proprietà senza dover studiare le relazioni tra i triangoli elementari che lo compongono.
Quindi, mentre il procedimento analitico per costruzione ci lascia allo stesso livello, è solo l’induzione matematica che può insegnarci qualcosa di nuovo.
[ Da: J.H. Poincarè (1907), La scienza e l'ipotesi, Bompiani ]
Nessun commento:
Posta un commento