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Da dove ci viene la nozione/concetto di CONTINUO? Bisogna presupporlo? Esiste concretamente? O è solo un’ipotesi per spiegare i numeri ad es frazionari...? (41)
Il continuo matematico è, per così dire, la possibilità di intercalare nella scala dei numeri interi sempre nuovi termini, indefinitamente. Prendiamo ad esempio la scala dei numeri interi; tra due scalini consecutivi intercaliamo uno io più scalini intermedi, e tra questi altri scalini ancora, e così via indefinitamente. Avremo così un numero illimitato di termini, che saranno i numeri detti frazionari, razionali o commensurabili; e ancora, tra questi termini, che sono già infiniti, se ne devono intercalare altri, i numeri irrazionali (o incommensurabili – vedi 42,43). Ogni termine è consecutivo all’altro, e però anche esterno rispetto a tutti gli altri.
Il continuo è anceh stato definito l’unità nella molteplicità; ma comunque l’autentico continuo matematico è diverso da quello dei fisici e dei metafisici.
L’unica proprietà di questi scalini, che rientra nella definizione, è quella di trovarsi prima o dopo altri scalini; che è come dire che quello che ci interessa è l’ordine in cui sono disposti i termini, che fin qui non sono misurabili; infatti possiamo dire se una di queste grandezze (i termini) è maggiore dell’altra, ma non se è due volte maggiore.
[ NB: Poichè ciò non è sufficiente per le applicazioni , per poter misurare tali grandezze bisogna imparare a misurare l’intervallo che separa termini qualsiasi (cfr. misurazione continuo, 53)].
Viene ora da chiedersi se la nozione del continuo matematico sia tratta dall’esperienza. (45)
Non è così, infatti l’esperienza dà se mai luogo al continuo fisico. Infatti dovremmo considerare i dati bruti dell’esperienza (= le nostre sensazioni) come misurabili; lo si è creduto possibile, ma osservando gli esperimenti più da vicino vediamo che non è così. Prendiamo ad esempio un peso
A = 11gr, B = 12gr, C =13gr. Osserviamo che il peso A e il peso B producono sensazioni identiche, e che allo stesso modo il peso B è indistinguibile dal peso C.
Questi risultati possono essere così espressi, e questa sarà la formula del CONTINUO FISICO:
A = B, B = C, A < C
....che significa che, appunto per l’imperfezione dei ns sensi, distinguiamo A da C (11 < 13) ma non A da B.
Anche qualora usassimo uno strumento più preciso per distinguere A da B, intercalando altri termini essi non sarebbero distinguibili proprio perchè è sempre con i nostri sensi che usiamo lo strumento, e tali sensi sono naturalmente imprecisi.
Ecco che allora la contraddizione che emerge dalla formula sopra (continuo fisico) ha reso necessaria l’invenzione del continuo matematico. Questa nozione è stata interamente creata dalla mente, ma è stata l’esperienza a dargliene l’occasione.
La contraddizione empirica (causata dall’impossibilità di distinguere tra termini sempre più numerosi e per quanto vicini pur sempre diversi tra loro) viene meno quando il numero dei termini viene riguardato come infinito: cioè la mente, per sfuggire alla contraddizione contenuta nei dati empirici, è indotta a creare il concetto di un continuo formato da un numero indefinito di termini.
Ma la creazione del continuo matematico ha anche a che fare con la potenza della nostra mente; sappiamo di poter concepire la possibilità di aggiungere una unità ad una collezione di unità, e ne prendiamo coscienza grazie all’esperienza; ma da qui in poi sentiamo (intuizione) che il nostro potere non conosce limite e potremmo contare indefinitamente, benche non abbiamo mai contato che un numero finito di oggetti. Allo stesso modo, nell’intercalare nuovi termini medi tra due consecutivi sentiamo che questa operazione può essere proseguita indefinitamente, al di là di ogni limite, e non c’è alcuna ragione intrinseca per fermarsi.
Il continuo matematico è di primo ordine quando è un insieme di termini formati secondo la scala dei numeri commensurabili;
si secondo ordine quando i suoi termini sono della scala dei numeri incommensurabili (cfr.41)
(....49)
Quindi il continuo matematico non è altro che un sistema particolare di simboli, la cui potenza è limitata unicamente dalla necessità di evitare qualsiasi contraddizione; la mente ne fa uso solo perchè l’esperienza le ha dato l’occasione, che qui era costituita dal contraddittorio concetto di continuo fisico tratto dai dati bruti dei sensi. Così appunto siamo obbligati a immaginare un sistema di simbili sempre più complicati. (55) Ma attenzione: benchè possiamo immaginare nuovi simboli e intercalare nuovi termini all’infinito, immagineremo simboli senza applicazioni possibili. Anche se essi sono legittimi, lo sono come mere curiosità logiche, e sono invece troppo poco utili per costinutire ad es un eventuale continuo del terzo ordine. La mente fa dunque uso della sua facoltà creatrice solo quando l’esperienza gliene impone la necessità, cioè quando può esser utile.
MISURAZIONE DEL CONTINUO (53)
Come lo abbiamo trattato fin qui, il continuo non è misurabile; ci siamo solo preoccupati dell’ordine in cui sono disposti i termini e non della loro grandezza e misurabilità.
Il continuo diventa una grandezza misurabile a cui è possibile applicare le operazioni dell’aritmetica quando impariamo a confrontare l’intervallo tra due termini qualsiasi. Per misurare l’intervallo è necessaria una nuova convenzione: si converrà che che ad es l’intervallo compreso tra il termine A e il termine B sarà uguale all’intervallo tra B e C; ossia gli scalini intercalati ad es tra i num interi saranno per convenzione considerati equidistanti.
Ecco che in questo modo si può definire l’addizione tra due grandezze (AB, BC ecc), che è cmq soggetta a varie proprietà.
(55 no)
CONTINUO FISICO A PIU’ DIMENSIONI (57...)
Riprendiamo l’esempio precedente dei pesi A, B e C dove riuscivamo a distinguere A da C ma non A da B. Essi saranno insiemi di sensazioni, e ciascun insieme sarà detto elemento. Detto ciò, un sistema di elementi formerà un continuo (fisico) se si può passare da uno qualunque di essi a un altro attraverso una successione di elementi consecutivi concatenati in modo che ciascuno di essi non possa essere distinto dal precedente. Questa catena è analoga alla linea del matematico, così come un elemento è analogo al punto (dove però il punto non ha estensione ecc, è solo un paragone per capire). Inoltre, posto che da un continuo C si può togliere una serie di elementi e considerarli come non appartenenti a esso, questo insieme di elementi sarà detta sezione del continuo C. grazie alla sezione sarà possibile dividere il continuo C in più continui distinti.
Il continuo MATEMATICO a più dimensioni
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